Question

（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．

（Ⅰ）設x=1是函數(shù)f（x）的極值點，求m的值并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當m≤2時，證明：f（x）＞﹣ln2．

Answer 1

（Ⅰ），函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）詳見解析：

【解析】

試題分析：

（Ⅰ）首先由函數(shù)的解析式求出其導數(shù)，根據(jù)題意有，解此方程可得的值，從而確定函數(shù)的導數(shù)的表達式，再利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）時，恒成立，取函數(shù)

于是當 時，可得： ，問題得證.

試題解析：（Ⅰ）【解析】
∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），

∴f′（x）=ex﹣m﹣，

由x=1是函數(shù)f（x）的極值點得f′（1）=0，

即e1﹣m﹣1=0，∴m=1． （2分）

于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，

由f″（x）=ex﹣1+＞0知 f′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f′（1）=0，

∴x=1是f′（x）=0的唯一零點． （4分）

因此，當x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；

x∈（1，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增，

∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增． （6分）

（Ⅱ）證明：當m≤2，x∈（0，+∞）時，ex﹣m≥ex﹣2，

又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1． （8分）

取函數(shù)h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，

當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，得函數(shù)h（x）在x=1時取唯一的極小值即最小值為h（1）=﹣ln2． （12分）

∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，

而上式三個不等號不能同時成立，故f（x）＞﹣ln2．（14分）

考點：導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應用綜合問題.