Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

2|x|

(x≠0，x∈R)，有下列命題：①函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x軸對稱；③函數(shù)f（x）的最小值是0；④函數(shù)f（x）沒有最大值；⑤函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①②判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可．
⑤將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)，令t=

1

x

（x＞0），易知在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)．
③因?yàn)閠=≥2（x＞0），再由偶函數(shù)，可知正確．
④當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)函數(shù)t=是增函數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)判斷．
⑤用③來判斷．

解答： 解：∵定義域?yàn)镽且x≠0，又滿足f（-x）=f（x），所以函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，故①正確，②錯(cuò)誤，
∵

x2+1

2|x|

≥1，f（x）又是偶函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的最小值是0，沒有最大值，故③④正確，
∵令g（x）=

1

2

（x+

1

x

）（x＞0），在（0，1]上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，故⑤錯(cuò)誤．
故正確命題的序號是①③④
故答案為：①③④

點(diǎn)評：本題通過多個(gè)問題來考查函數(shù)復(fù)合函數(shù)的研究方法，涉及了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最值等，知識點(diǎn)，方法靈活，要細(xì)心耐心．