Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點．
（1）求證：AE⊥PD；
（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為

6

2

．
①求PA的長度；
②當H為PD的中點時，求異面直線PB與EH所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）①利用（1）的結論和線面角的定義即可得出；
②利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理、異面直線所成的角即可得出．

解答：（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．
∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．又BC∥AD，∴AE⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．
而PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）解：①連接EH．由（1）知AE⊥平面PAD，∴∠EHA為EH與平面PAD所成的角．
在Rt△EAH中，AE=

3

，而tan∠EHA=

AE

AH

=

3

AH

，
∴當AH最短時，∠EHA最大，即當AH⊥PD時，tan∠EHA=

3

AH

=

6

2

，因此AH=

2

．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2．
②取PA中點F，連BF，HF，則HF∥AD，且HF=

1

2

AD，而BC∥AD，BC=AD，∴BE=HF，BE∥HF．
故四邊形BEHF是平行四邊形，則EH∥BF，所以異面直線PB與EH所成的角是∠PBF或其補角．由計算得：PB=2

2

，BF=

5

，PF=1，
故cos∠PBF=

PB2+BF2-PF2

2PB•BF

=

3 10

10

，
故異面直線PB與EH所成角的余弦值是

3 10

10

．

點評：熟練掌握線面垂直的判定定理、異面直線所成的角、線面角的定義、菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理是解題的關鍵．