【題目】已知函數(shù)內(nèi)有兩個極值點(diǎn)x1,x2x1x2),其中a為常數(shù).

1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

2)求證:x1+x22.

【答案】1a1;(2)證明見解析.

【解析】

1)轉(zhuǎn)化問題為有兩個變號零點(diǎn),設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得上單調(diào)遞增,則,即轉(zhuǎn)化問題為有兩個變號零點(diǎn),即,,設(shè),則直線y=ax∈(0,+∞)有兩個交點(diǎn),進(jìn)而利用導(dǎo)函數(shù)求的最值,即可求解;

(2)由(1),若x1+x22,gx2)>g2x1),即gx1)>g2x1),構(gòu)造函數(shù)Fx)=gx)﹣g2x),進(jìn)而證明x∈(0,1)時Fx)>0即可.

1)因?yàn)?/span>,

由題意知x1,x2是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn),

,則,所以上單調(diào)遞增,

,所以,

所以x1,x2的兩個零點(diǎn),即,則,

又令,則gx1)=gx2),

從而只需直線y=a與函數(shù)gx的圖象在x∈(0,+∞)上有兩個交點(diǎn),

可得當(dāng)時,;當(dāng)時,,

所以gx)在(0,1)遞減,在(1,+∞)遞增,

從而,

所以a1.

2)證明:由(1)知,0x11x2,

若不等式x1+x22成立,則gx2)>g2x1),即gx1)>g2x1),

Fx)=gx)﹣g2x),x∈(0,1),則只需Fx)>0,

,只需研究的符號,

因?yàn)?/span>,,

所以,

所以,則,

所以,

x1+x22成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知

1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,求函數(shù)的解析式;

2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程;

3)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù),其中為正實(shí)數(shù).

(1)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)當(dāng)時,證明.

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【題目】將參加夏令營的400名學(xué)生編號為:001,002,…,400,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本,且隨機(jī)抽得的號碼為003,這400名學(xué)生分住在三個營區(qū),從001到180在第一營區(qū),從181到295在第二營區(qū),從296到400在第三營區(qū),三個營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為( )

A. 18,12,10 B. 20,12,8 C. 17,13,10 D. 18,11,11

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【題目】已知拋物線Cy2=4x與橢圓E1ab0)有一個公共焦點(diǎn)F.設(shè)拋物線C與橢圓E在第一象限的交點(diǎn)為M.滿足|MF|.

1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)過點(diǎn)P1,)的直線交拋物線CAB兩點(diǎn),直線PO交橢圓E于另一點(diǎn)Q.PAB的中點(diǎn),求△QAB的面積.

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【題目】設(shè)實(shí)數(shù)滿足,若的最大值為16,則實(shí)數(shù)__________

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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,過右焦點(diǎn)作直線交橢圓兩點(diǎn),的周長為,點(diǎn).

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)直線、的斜率,請問是否為定值?若是定值,求出其定值;若不是,說明理由.

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【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖.

1)計算甲班的樣本方差;

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【題目】如圖,在ABC中,∠B,AB8,點(diǎn)DBC邊上,CD2,cosADC.

1)求sinBAD;

2)求BDAC的長.

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