Question

 (1)m為何值時(shí)，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.

①有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②有兩個(gè)零點(diǎn)且均比－1大；

(2)若函數(shù)f(x)＝|4x－x²|＋a有4個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)①f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且僅有一個(gè)零點(diǎn)⇔方程f(x)＝0有兩個(gè)相等實(shí)根

⇔Δ＝0，即4m²－4(3m＋4)＝0，即m²－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②法一　設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂，

則x₁＋x₂＝－2m，x₁·x₂＝3m＋4.

由題意，在⇔

⇔

∴－5＜m＜－1.故m的取值范圍為(－5，－1)．

法二　由題意，知即

∴－5＜m＜－1.∴m的取值范圍為(－5，－1)．

(2)令f(x)＝0，得|4x－x²|＋a＝0，

即|4x－x²|＝－a.

令g(x)＝|4x－x²|，h(x)＝－a.

作出g(x)、h(x)的圖象．

由圖象可知，當(dāng)0＜－a＜4，即－4＜a＜0時(shí)，g(x)與h(x)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有4個(gè)零點(diǎn)．故a的取值范圍為(－4,0)．