Question

7．設點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），直線AC，BC相交于點C，且它們的斜率之積是-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（常數(shù)a，b為正實數(shù)）．
（Ⅰ）求點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，P，Q為軌跡E上的動點，且OP⊥OQ，求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求點C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），利用極坐標方程求：$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）設C（x，y），則由題意可得$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
化簡可得$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$；
（Ⅱ）$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$化為極坐標方程$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{^{2}}$
設P（ρ₁，θ），Q（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}θ}{^{2}}$+$\frac{co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{{a}^{2}}+\frac{si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查極坐標方程的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．