Question

(本小題滿分14分)

               

如圖所示，已知圓，為定點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡為曲線E.

 

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中垂線交軸于點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及橢圓方程的求解的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)橛深}意知，.

又，

∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓

（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，對(duì)于斜率要分類討論是否存在，然后結(jié)合直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和中點(diǎn)公式得到中垂線方程求解。

解：（Ⅰ）由題意知，.

又，

∴動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長軸長，

焦距. ，

∴曲線的方程為  6分

（Ⅱ）①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，線段的中垂線為軸，；  8分

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，代入

得：

，由得，  10分

設(shè)，則，，

，

∴線段的中點(diǎn)為，中垂線方程為，12分

                                                                

令得. 由，易得.

綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.                 14分