Question

已知向量

a

=（1+

1

tanx

，msin（x+

π

4

）），

b

=（sin²x，sin（x-

π

4

）），記函數(shù)f（x）=

a

•

b

，求：
（1）當m=0時，求f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的值域；
（2）當tanα=2時，f（α）=

3

5

，求m的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)條件求出f（x），要對求出的f（x）進行化簡，并化簡成：f（x）=

sin2x-cos2x+1

2

-

m

2

cos2x，將m=0帶入并根據(jù)兩角差的正弦公式把它變成一個角的三角函數(shù)為f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，根據(jù)x所在的區(qū)間，求出2x-

π

4

所在區(qū)間，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象或取值情況便可求出f（x）在[

π

8

，

3π

4

]上的值域．
（2）求出f（α）=

1

2

(sin2α-cos2α+1)-

m

2

cos2α=

3

5

，要求m，顯然需要求cos2α，sin2α，由tan2α=2即可求出cos2α和sin2α，帶入即可求m．

解答： 解：f（x）=(1+

1

tanx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)=sin2x+sinxcosx-msin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

sin2x-cos2x+1

2

-

m

2

cos2x
（1）m=0時，f（x）=

1

2

(sin2x-cos2x+1)=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

；
∵x∈[

π

8

，

3π

4

]，∴2x-

π

4

∈[0，

5π

4

]
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]；
∴f（x）∈[0，

2 +1

2

]，即函數(shù)f（x）的值域是[0，

2 +1

2

]．
（2）當tanα=2時，

sinα

cosα

=2，∴

sin2α

cos2α

=4，∴cos2α=

1

5

；
∴cos2α=2cos²α-1-

3

5

；
∵tanα=2＞0，∴α∈[kπ，kπ+

π

2

]，∴2α∈[2kπ，2kπ+π]，∴sin2α=

4

5

．
∴f（α）=

4 5 + 3 5 +1

2

-

m

2

(-

3

5

)=

6

5

+

3m

10

=

3

5

；
∴m=-2

點評：對求出的f（x）進行化簡，并化簡成f（x）=

1

2

(sin2x-cos2x+1)-

m

2

cos2x，是求解本題的關(guān)鍵．本題考查：數(shù)量積的坐標運算，二倍角的正余弦公式，兩角差的正弦公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式．