Question

9．設函數(shù)$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，若對于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 求導f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），從而可判斷出f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]上單調(diào)遞增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞減；從而求得f_max（x）=f（2）=7；從而解得．

解答 解：∵$f（x）={x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+5$，
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
∴當x∈[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]時，f′（x）＞0；
當x∈（-$\frac{2}{3}$，1）時，f′（x）＜0；
∴f（x）在[-1，-$\frac{2}{3}$），（1，2]上單調(diào)遞增，在（-$\frac{2}{3}$，1）上單調(diào)遞減；
且f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{9}$+2×$\frac{2}{3}$+5=5+$\frac{22}{27}$，f（2）=8-$\frac{1}{2}$×4-2×2+5=7；
故f_max（x）=f（2）=7；
故對于任意x∈[-1，2]都有f（x）＜m成立可化為7＜m；
故實數(shù)m的取值范圍為（7，+∞）．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．