Question

在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），其中x∈[0，π]，若直線OP⊥直線OQ，求x的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，可得向量

OP

、

OQ

的坐標(biāo)，若OP⊥OQ，則

OP

⊥

OQ

，可得

OP

•

OQ

=0．由此建立關(guān)于x的方程，利用二倍角的余弦公式，化簡得-2cos²x+cosx=0，解之得cosx=0或

1

2

，結(jié)合x∈[0，π]可得x的值．

解答：解：∵P（2cosx+1，2cos2x+2，0），Q（cosx，-1，3），
∴

OP

=（2cosx+1，2cos2x+2，0），

OQ

=（cosx，-1，3），
又∵直線OP⊥直線OQ，可得

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=cosx（2cosx+1）-（2cos2x+2）+0×3=0，
即2cos²x+cosx-2cos2x-2=0，可得2cos²x+cosx-2（2cos²x-1）-2=0，
化簡整理得-2cos²x+cosx=0，解之得cosx=0或

1

2

，
又∵x∈[0，π]，
∴x=

π

2

或

π

3

．

點(diǎn)評：本題給出空間點(diǎn)含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，在直線互相垂直的情況下求未知數(shù)的值．著重考查了空間向量的數(shù)量積、直線位置關(guān)系的應(yīng)用與二倍角的三角函數(shù)公式等知識，屬于中檔題．