Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx-2，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求出導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的定義域，通過①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)a＞0時，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（II）通過a≤0時，當(dāng)a＞0時，利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，列出不等式即可求解a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（I）$f'（x）=ax-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}-1}}{x}，x＞0$…（2分）
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（4分）
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得$x=\frac{{\sqrt{a}}}{a}$，
當(dāng)$x∈（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$時，f′（x）＜0；
當(dāng)$x∈（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$時，f′（x）＞0；
∴函數(shù)f（x）在當(dāng)$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$內(nèi)單調(diào)遞減，在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增；…（6分）
（II） 當(dāng)a≤0時，由（I）知f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（x）不可能有兩個零點(diǎn)； …（8分）
當(dāng)a＞0時，由（I）得，函數(shù)f（x）在當(dāng)$（0，\frac{{\sqrt{a}}}{a}）$內(nèi)單調(diào)遞減，
在$（\frac{{\sqrt{a}}}{a}，+∞）$內(nèi)單調(diào)遞增，且當(dāng)x趨近于0和正無窮大時，f（x）都趨近于正無窮大，
故若要使函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-lnx-2$有兩個零點(diǎn)；…（10分）
則f（x）的極小值$f（\frac{{\sqrt{a}}}{a}）＜0$，即$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}lna-2＜0$，解得0＜a＜e³
所以a的取值范圍是（0，e³）…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查分析問題解決問題的能力．