Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足an=

1

2

Sn+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log₂a_n，cn=

1

bnbn+1

，且數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a1=

1

2

S1+1，可求a₁，然后由n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可得a_n=2a_n-1，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)可求
（2）由bn=log2an=log22n=n，而cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項(xiàng)可求T_n，即可求解

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

S1+1，
解得a₁=2
當(dāng)n≥2時(shí)，an-1=

1

2

Sn-1+1…①
an=

1

2

Sn+1…②
②-①得an-an-1=

1

2

an
即a_n=2a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴an=2n
（2）bn=log2an=log22n=n
cn=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∵n∈N^*
∴

1

n+1

∈(0，

1

2

]
∴Tn∈[

1

2

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了遞推公式，a_n=s_n-s_n-1，（n≥2）在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．