Question

【題目】已知數(shù)列滿足： ，且.

（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)是數(shù)列的前項和，若對任意都成立．試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）．

【解析】

試題

(1)利用題中的遞推關(guān)系計算可得后項與前項的比值為定值，計算首項為即可證得數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)原問題轉(zhuǎn)化為對任意的都成立，分類討論可得：實數(shù)的取值范圍是．

試題解析：

（Ⅰ）因為，，，

所以，

所以，

又，

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，

則

．

又 ，

要使對任意的都成立，

即（*）對任意的都成立．　

①當(dāng)為正奇數(shù)時，由（*）得，，

即，

因為，

所以對任意的正奇數(shù)都成立，

當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值1，

所以．

②當(dāng)為正偶數(shù)時，由（*）得，

，

即，

因為，

所以對任意的正偶數(shù)都成立．

當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值，所以．

綜上所述，存在實數(shù)，使得對任意的都成立，

故實數(shù)的取值范圍是．