Question

7．如圖，在等腰梯形CDFE中，A、B分別為底邊DE，CE的中點．AD=2AB=2BC=2．沿AE將AEF折起，使二面角F-AE-C為直二面角，連接CF、DF．

（Ⅰ）證明：平面ACF⊥平面AEF；
（Ⅱ）求平面AEF與平面CDF所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明EF⊥EA；EF⊥AC；然后證明EF⊥平面AECD，說明AC⊥EF，推出AC⊥平面AEF，即可證明平面ACF⊥平面AEF．
（Ⅱ）以E為原點，EC所在直線為x軸，EF所在直線為Z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面AEF的法向量，
平面FCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面AEF與平面CDF所成銳二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在等腰梯形CDFE中，由已知條件可得，$CD=AC=AE=EF=\sqrt{2}$，AF=AD=2，
所以，AE²+EF²=AF²，∴EF⊥EA；同理可證，EF⊥AC；…（1分）
在四棱錐F-AECD中，
∵二面角F-AE-C為直二面角，∴平面AEF⊥平面AECD，
∴EF⊥平面AECD，…（2分）
∵AC?平面AECD，∴AC⊥EF，
又∵AC⊥AE，∴AC⊥平面AEF，…（4分）
∴平面ACF⊥平面AEF．…（5分）
（Ⅱ）解：以E為原點，EC所在直線為x軸，EF所在直線為Z軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（1，1，0），C（2.0，0），D（3，1，0），$F（0，0，\sqrt{2}）$…．（6分）
則，$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$.$\overrightarrow{CD}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{CF}=（-2，0，\sqrt{2}）$，
顯然，$\overrightarrow{AC}=（1，-1，0）$為平面AEF的法向量，
設(shè)平面FCD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}x+y=0\\-2x+\sqrt{2}z=0\end{array}\right.$，
所以$\overrightarrow n$的一個取值為$（1，-1，\sqrt{2}）$…．（9分）
故平面AEF與平面CDF所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…．（12分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．