Question

已知數(shù)列滿足＋＝4n－3(n∈)．
（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的值；
（2）當(dāng)＝2時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（3）若對(duì)任意n∈，都有≥5成立，求的取值范圍．

Answer 1

⑴；⑵＝(k∈Z)；⑶，，．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，則＝＋(n－1)d，＝＋nd．
由＋＝4n－3，得(＋nd)＋[＋(n－1)d]＝4n－3，即2d＝4，－d＝－3，解得d＝2，＝．
（2）由＋＝4n－3(n∈)，得＋＝4n＋1(n∈)．
兩式相減，得－＝4．
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列．
數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為4的等差數(shù)列．
由＋＝1，＝2，得＝－1．
所以＝(k∈Z)．①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝2n，＝2n－3．
＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＋
＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n＝＋2n＝．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝＋＋＋…＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝．
所以＝(k∈Z)．
（3）由（2）知，＝(k∈Z)．
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝2n－2＋，＝2n－1－．
由≥5，得－≥＋16n－10．
令＝＋16n－10＝＋6．
當(dāng)n＝1或n＝3時(shí)，＝2，所以－≥2．
解得≥2或≤－1．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝2n－3－，＝2n＋．
由≥5，得＋≥＋16n－12．
令＝＋16n－12＝＋4．
當(dāng)n＝2時(shí)，＝4，所以＋≥4．
解得≥1或≤－4．
綜上所述，的取值范圍是，，．