Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點(diǎn)，使得＞成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】

試題分析：（1）求的導(dǎo)數(shù)，找出處的導(dǎo)數(shù)即切線(xiàn)的斜率，由點(diǎn)斜式列出直線(xiàn)的方程即可；（2）求出函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增減性的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題進(jìn)行求解即可；(3)討論在定義域上的最值，分情況討論的增減性，進(jìn)而解決存在成立的問(wèn)題即可．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為

從而曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即 3分

（2）

令，要使在定義域內(nèi)是增函數(shù)，只需在內(nèi)恒成立

由題意，的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為

∴， 只需，即時(shí)，

∴在內(nèi)為增函數(shù)，正實(shí)數(shù)的取值范圍是 7分

（3）∵在上是減函數(shù)

∴時(shí)，；時(shí)，，即

①當(dāng)時(shí)，，其圖象為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸在軸的左側(cè)，且，所以在內(nèi)是減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720393771462564/SYS201411172039468399138552_DA/SYS201411172039468399138552_DA.056.png">，所以，

此時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意

②當(dāng)時(shí)，由，所以

又由(Ⅱ)知當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)

∴，不合題意 12分

③當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)知在上是增函數(shù)，

又在上是減函數(shù)，故只需，

而，

即，解得

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 15分．

考點(diǎn)：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)；4．分類(lèi)討論的思想．