Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

2

x-

1

8

sin2x-

3

8

cos2x．
（1）試判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（2）已知函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線斜率為

1

2

，求

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間即可，本題由于導(dǎo)數(shù)恒正，故可確定函數(shù)是R上是增函數(shù)．
（2）令導(dǎo)數(shù)等于2，求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值即可．

解答：解：f′(x)=

1

2

-

1

4

cos2x+

3

4

sin2x=

1

2

sin(2x-

π

6

)+

1

2

≥0，
∴f（x）定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（4分）
（2）由f′(x0)=

1

2

sin(2x0-

π

6

)+

1

2

=

1

2

，
得：sin(2x0-

π

6

)=0．∴2x0-

π

6

=kπ(k∈Z)，
得2x0=kπ+

π

6

(k∈Z)，（4分）
∴

2sin2x0+sin2x0

1+tanx0

=

2sinx0cosx0(sinx0+cosx0)

cosx0+sinx0

=sin2x0=sin(kπ+

π

6

)=

3 2 k取偶數(shù)時(shí) - 3 2 k取奇數(shù)時(shí)

（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及求導(dǎo)公式，解題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的意義研究函數(shù)的單調(diào)性求切點(diǎn)的坐標(biāo)，本題中二的求值過(guò)程中要利用三角恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，三角恒等式由于公式比較多，記憶較難，導(dǎo)致公式記不準(zhǔn)或者用不準(zhǔn)出錯(cuò)，學(xué)習(xí)時(shí)要善加記憶，多多關(guān)注．