Question

14．若不等式x+lnx≤kx+b≤x²對?x∈（0，+∞）恒成立，則k+3b的值-1．

Answer 1

分析 不等式化為x+lnx≤kx+b對?x∈（0，+∞）恒成立且kx+b≤x²對?x∈（0，+∞）恒成立，從而可得b≥-1-ln（k-1），b≤-$\frac{{k}^{2}}{4}$；從而可得-1-ln（k-1）≤-$\frac{{k}^{2}}{4}$恒成立，從而解得k=2，再求b即可．

解答 解：∵x+lnx≤kx+b對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴（k-1）x-lnx+b≥0對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴k＞1，
令f（x）=（k-1）x-lnx+b，f′（x）=k-1-$\frac{1}{x}$；
故f（x）在（0，$\frac{1}{k-1}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{k-1}$，+∞）上單調(diào)遞增；
故f（$\frac{1}{k-1}$）=（k-1）$\frac{1}{k-1}$-ln$\frac{1}{k-1}$+b≥0，
即b≥-1-ln（k-1）；
∵kx+b≤x²對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴x²-kx-b≥0對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴（x-$\frac{k}{2}$）²-$\frac{{k}^{2}}{4}$-b≥0對?x∈（0，+∞）恒成立，
∴-$\frac{{k}^{2}}{4}$-b≥0，
故b≤-$\frac{{k}^{2}}{4}$；
故-1-ln（k-1）≤-$\frac{{k}^{2}}{4}$恒成立，
令h（k）=$\frac{{k}^{2}}{4}$-1-ln（k-1），
h′（k）=$\frac{k}{2}$-$\frac{1}{k-1}$=$\frac{（k+1）（k-2）}{2（k-1）}$，
故h（k）在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)；
且h（2）=0，
故k=2；
故-1≤b≤-1，
故b=-1；
故k+3b=-1；
故答案為：-1．

點評 本題考查了恒成立問題的應用，同時考查了不等式的應用，利用函數(shù)的思想化為函數(shù)的最值問題．