Question

【題目】微信運動和運動手環(huán)的普及，增強了人民運動的積極性，每天一萬步稱為一種健康時尚，某中學在全校范圍內(nèi)內(nèi)積極倡導和督促師生開展“每天一萬步”活動，經(jīng)過幾個月的扎實落地工作后，學校想了解全校師生每天一萬步的情況，學校界定一人一天走路不足4千步為不健康生活方式，不少于16千步為超健康生活方式者，其他為一般生活方式者，學校委托數(shù)學組調(diào)查，數(shù)學組采用分層抽樣的辦法去估計全校師生的情況，結合實際及便于分層抽樣，認定全校教師人數(shù)為200人，高一學生人數(shù)為700人，高二學生人數(shù)600人，高三學生人數(shù)500，從中抽取n人作為調(diào)查對象，得到了如圖所示的這n人的頻率分布直方圖，這n人中有20人被學校界定為不健康生活方式者．
（1）求這次作為抽樣調(diào)查對象的教師人數(shù)；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生每人一天走路步數(shù)的中位數(shù)（四舍五入精確到整數(shù)步）；
（3）校辦公室欲從全校師生中速記抽取3人作為“每天一萬步”活動的慰問對象，計劃學校界定不健康生活方式者鞭策性精神鼓勵0元，超健康生活方式者表彰獎勵20元，一般生活方式者鼓勵性獎勵10元，利用樣本估計總體，將頻率視為概率，求這次校辦公室慰問獎勵金額X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由頻率分布直方圖知[0，4）的頻率為0.05×4=0.2，于是 ，

由分層抽樣的原理知這次作為抽樣調(diào)查對象的教師人數(shù)為 人．

（2）解：由頻率分布直方圖知[0，4）的頻率為0.2，[4，8）的頻率為0.25，[8，12）的頻率為0.3，

設中位數(shù)為x，則0.2+0.25+（x﹣8）×0.075=0.5，于是 （千步）；

（3）解：有頻率分布直方圖知不健康生活方式者概率為0.2，超健康生活方式者的概率為0.1，

一般生活方式者的概率為0.7，0≤X≤60，X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，

則 ， ，

， ，

P（X=60）=0.13=0.001．

X	0	10	20	30	40	50	60
P	0.008	0.084	0.306	0.427	0.153	0.021	0.001

E（X）=0×0.008+10×0.084+20×0.306+30×0.427+40×0.153+50×0.021+60×0.001=27（元）

所以這次校辦公室慰問獎勵金額X的數(shù)學期望為27元．

【解析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)與分層抽樣的原理即可得出．（2）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)與中位數(shù)的定義即可得出．（3）有頻率分布直方圖知不健康生活方式者概率為0.2，超健康生活方式者的概率為0.1，一般生活方式者的概率為0.7，0≤X≤60，X的可能取值為0，10，20，30，40，50，60，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解頻率分布直方圖的相關知識，掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．