Question

已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）動(dòng)直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）點(diǎn)就是所求的點(diǎn)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．

又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入可得，2分

所以，故所求橢圓方程為．4分

（Ⅱ）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)為，直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為； 

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)為，直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，

由解得

即兩圓相切于點(diǎn)，因此，所求的點(diǎn)如果存在，只能是．8分

事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．

證明如下：

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)．9分

若的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)為，

由消去得．

記點(diǎn)、，則    10分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013061510050157111933/SYS201306151005388680530473_DA.files/image031.png">，

所以

．

所以，即以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，12分

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿(mǎn)足條件．13分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了解析幾何中運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)研究位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。