Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）經過點（ ，﹣ ），且橢圓的離心率e= ．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點A，C及B，D，設線段AC，BD的中點分別為P，Q．求證：直線PQ恒過一個定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，

即a2=4c2=4（a2﹣b2），即3a2=4b2． …

由橢圓過點 知， ． …

聯(lián)立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3． …

故橢圓的方程是 ．…

（2）證明：直線PQ恒過一個定點 ．…

橢圓的右焦點為F（1，0），分兩種情況．

1°當直線AC的斜率不存在時，

AC：x=1，則 BD：y=0．由橢圓的通徑得P（1，0），

又Q（0，0），此時直線PQ恒過一個定點 ．…

2°當直線AC的斜率存在時，設AC：y=k（x﹣1）（k≠0），

則 BD： ．

又設點A（x1，y1），C（x2，y2）．

聯(lián)立方程組 ，

消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，…

所以 ． ． ．…

由題知，直線BD的斜率為﹣ ，

同理可得點 ．…

．

，…

即4yk2+（7x﹣4）k﹣4y=0．

令4y=0，7x﹣4=0，﹣4y=0，解得 ．

故直線PQ恒過一個定點 ；…

綜上可知，直線PQ恒過一個定點 ．…

【解析】（1）由離心率可得a與c的關系，過點可得a與b的關系，再根據，即可得出橢圓方程；（2）當斜率不存在時，得出此時過定點，當斜率存在時，根據點斜式設出兩相互垂直的直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理可得P、Q的坐標，再得出PQ所在直線方程，經檢驗PQ過點。