Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax+b，已知a是正實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)b，使得e≤f（x）≤e²+1對(duì)x∈[1，e]恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出函數(shù)f（x）=a²lnx-x²+ax+b的二階函數(shù)，分析函數(shù)的凸凹性，進(jìn)而結(jié)合存在實(shí)數(shù)b，使得e≤f（x）≤e²+1對(duì)x∈[1，e]恒成立，可得

e≤f(1)≤e2+1 e≤f(e)≤e2+1

，畫出滿足約束條件的可行域，利用角點(diǎn)法，可求出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=a²lnx-x²+ax+b，
∴f′（x）=a²•

1

x

-2x+a，
∴f″（x）=-a²•

1

x2

-2，
當(dāng)x＞0時(shí)，f″（x）＜0恒成立，
故函數(shù)f（x）為凸函數(shù)，
若存在實(shí)數(shù)b，使得e≤f（x）≤e²+1對(duì)x∈[1，e]恒成立，
只需

e≤f(1)≤e2+1 e≤f(e)≤e2+1

即

e≤a+b-1≤e2+1 e≤a2-e2+ae+b≤e2+1

即

b≥-a+e+1 b≤-a+e2+2 b≥-a2-ea+e2+e b≤-a2-ea+2e2+1

滿足約束條件的可行域如下圖所示：

由

b=-a+e2+2 b=-a2-ea+e2+e

得a=

-e+1+ e2+2e-7

2

，或a=

-e+1- e2+2e-7

2

故M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

-e+1+ e2+2e-7

2

，0），
由

b=-a+e+1 b=-a2-ea+2e2+1

得a=e，或a=1-2e
故N點(diǎn)的坐標(biāo)為N（e，0）
所以a的取值范圍：

-e+1+ e2+2e-7

2

≤a≤e

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)凸凹性，運(yùn)算強(qiáng)度大，變形思路比較小，難度較大．