【題目】在的方格表中取出46個(gè)方格染成紅色.證明：存在一塊由4個(gè)方格構(gòu)成的區(qū)域，其中由至少3個(gè)方格被染成紅色.

【答案】見解析

【解析】

首先，考察的方格表.

如圖，設(shè)第一行有個(gè)方格被染成紅色，第2行有個(gè)方格被染成紅色.

下面證明：若，則必存在一塊由4個(gè)方格構(gòu)成的區(qū)域，其中有至少3個(gè)方格被染成紅色，若，則只有唯一的情形（如圖）能夠使得不存在由4個(gè)方格構(gòu)成的區(qū)域，其中至少3個(gè)方格被染成紅色.

將方格表從左向右分成4個(gè)方格和一個(gè)區(qū)域.若不存在至少3個(gè)方格被染成紅色的區(qū)域.則前4個(gè)方格中每個(gè)中至多有兩個(gè)方格被染成紅色，于是，總的紅色方格數(shù)不超過，矛盾.

故當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.

當(dāng)時(shí)，必存在某一列的和同時(shí)被染成紅色.為保證不存在區(qū)域中至少3個(gè)方格不被染成紅色，則要求和、和不被染成紅色，顯然，只有圖中的情形滿足.

再回到本題.

假設(shè)存在某種染色方案使得方格表中不存在有至少3個(gè)方格被染成紅色的區(qū)域.

若該方案中存在相鄰的兩行（第行和第行）滿足，則必有.若為奇數(shù)，則沿第行將方格表分成上、下兩部分，上面有偶數(shù)行，下面也有偶數(shù)行，由前面的結(jié)論知，剩下的8行中至多有個(gè)方格被染成紅色.于是，總的紅色方格數(shù)不超過.若為偶數(shù)，則沿第行劃分，有相同的結(jié)論.

若任意相鄰兩行的紅色方格數(shù)之和均不等于10，則

.

因此，無論如何染色，要使方格表中不存在有至少3個(gè)方格被染成紅色的區(qū)域，最多只能有45個(gè)方格被染成紅色，與題設(shè)矛盾.

綜上所述，必存在一塊由4個(gè)方格構(gòu)成的區(qū)域，其中有至少3個(gè)方格被染成紅色.

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