已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)C：的左右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為e，直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，且
AM
=
3
4
AB

（1）計算橢圓的離心率e
（2）若直線l向右平移一個單位后得到l′，l′被橢圓C截得的弦長為
5
4
，則求橢圓C的方程．
分析：（1）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出交點M的坐標，利用
AM
=
3
4
AB
得到e值．
（2）由（1）中求得的e值，可求出直線l方程，并化簡橢圓方程，使其只含一個參數(shù)，設(shè)l′方程，與橢圓方程聯(lián)立，用弦長公式求出l′被橢圓C截得的弦長，令其等于
5
4
，即可得到橢圓方程．
解答：解：（1）y=ex+a，∴A（-
a
e
，0），B（0，a） 
由
y=ex+a
x2
a2
+
y2
b2
=1
，∴
x=-c
y=
b2
a
∴M（-c，
b2
a
），由
AM
=
3
4
AB
，得 
（-c+
a
e
，
b2
a
）=
3
4
（
a
e
，a），即
a
e
-c= 
3
4
a
e
b2
a
=
3
4
a
∴e2=1-
3
4
=
1
4
，∴e=
1
2
     
（2）∵e=
1
2
，設(shè)橢圓的方程為3x2+4y2=3a2，l：y=
1
2
x-
1
2
+a
即
3x2+4y2=3a2
y=
1
2
x-
1
2
+a
消y，得4x2+（4a-2）x+a2-4a+1=0．設(shè)l交橢圓于B（x1，y1），C（x2，y2）
∴x1+x2=-
4a-2
4
，x1x2=
a2-4a+1
4

    
∴l(xiāng)=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2
=
5
4
12a-3
4
=
5
4
    
∴a=
2
3
∴橢圓的方程為
x2
4
9
+
y2
1
3
=1
點評：本題主要考查了利用直線與橢圓位置關(guān)系求參數(shù)的值，注意韋達定理的應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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