Question

（本小題滿分12分）
設二次函數，函數，且有，
（1）求函數的解析式；
（2）是否存在實數k和p，使得成立，若存在，求出k和p的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）  （）
（2）

（I）由，可建立關于a,b，m,n
的方程，從而求出f(x),g(x)的解析式.
（2）假設存在，令f(x)=g(x)=kx+p,即，然后可以構造（），證明h(x)與x軸的正半軸有交點即可.然后再根據圖像確定直線方程y=kx+p應滿足什么條件.
（Ⅰ），，
，，即，
．                                                    （2分）
，．， ，
解得，（）．               （4分）
（Ⅱ）令，可得（）．
（法一）， ，
，，
，，，
即與有且僅有一個交點為，
在點處的切線為．                        （8分）
（法二）設（），
（），
令，解得，
且時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
時，．
所以，與有且僅有一個交點為．
在點處的切線為．                        （8分）
下面證明．
設（），
（法一）

，，即．       （12分）
（法二），令，解得．
且時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
時，，即．      （12分）