Question

已知圓C的圓心在直線y=-2x上，并且與直線x+y=1相切于點(diǎn)A（2，-1）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）從圓C外一點(diǎn)M引圓C的切線MN，N為切點(diǎn)，且MN=MO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求MN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（1）由題意可知所求圓的圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且與直線x+y=1垂直的直線上，又所求圓的圓心在直線y=-2x上，解方程組求出圓心，求出半徑，即AC的長(zhǎng)，可得圓的方程；
（2）設(shè)M（x，y），由MN=MO，得2x-4y-3=0，化簡(jiǎn)MN=MO=

x2+y2

=

5(y+ 3 5 )2+ 9 20

，求出最小值和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）與直線x+y=1相切于點(diǎn)A（2，-1）的圓的圓心在經(jīng)過(guò)點(diǎn)A
且與直線x+y=1垂直的直線上，該直線的方程是x-y=3．
又所求圓的圓心在直線y=-2x上，解方程組

x-y-3=0 2x+y=0

得x=1，y=-2．
所以圓心C的坐標(biāo)是（1，-2）．
因?yàn)閨AC|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
所以所求圓的方程為（x-1）²+（y+2）²=2．
（2）設(shè)M（x，y），則MO=

x2+y2

，MN=

(x-1)2+(y+2)2-2

，
由MN=MO，得2x-4y-3=0，
MN=MO=

x2+y2

=

(2y+ 3 2 )2+y2

=

5y2+6y+ 9 4

=

5(y+ 3 5 )2+ 9 20

．
當(dāng)y=-

3

5

時(shí)，MN=

3 5

10

．因此，MN的最小值為

3 5

10

．此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

3

10

，-

3

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程和圓的方程及應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，主要是相切，切線長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．