Question

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥平面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，M為EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-DF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得四邊形ABEM是平行四邊形，AM∥BE，AM=BE=2，由此能證明AM⊥平面ADF．
（2）過過A作AG⊥DF于G，連接MG，由已知得∠MGA為二面角A-DF-E的平面角，由此能求出二面角A-DF-E的平面角的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四邊形ABEM是平行四邊形，
∴AM∥BE，AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

，
∴△MAF是直角三角形，且∠MAF=90°，∴MA⊥AF，…（2分）
又∵DA⊥平面ABEF，MA?平面ABEF，
∴MA⊥DA，…（4分）
又∵DA∩AF=A，DA，AF?平面ADF，
AM⊥平面ADF．…（6分）
（2）解：過A作AG⊥DF于G，連接MG，
∵AM⊥平面ADF，AG⊥DF，∴MG⊥DF，
∴∠MGA為二面角A-DF-E的平面角，（8分）
在RT△ADF中，|AD|•|AF|=|DF|•|AG|，
∴AG=

2 5

5

，
在Rt△AMG中，AM=2，AG=

2 5

5

，MG=

2 30

5

，…（10分）
∴cos∠MGA=

AG

MG

=

6

6

，
∴二面角A-DF-E的平面角的余弦值

6

6

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．