Question

9．在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=3，b₁=5，a_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$，b_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{2}$（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n-a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，試求數(shù)列{2^n-3T_n}的前n項(xiàng)和A_n；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意n∈N^*，都有p（S_n-4n）∈[1，3]，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$，b_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），兩式相減可得：b_n+1-a_n+1=-$\frac{1}{2}（_{n}-{a}_{n}）$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由a_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$，b_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），可得a_n+1+b_n+1-8=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+_{n}-8）$，而a₁+b₁-8=0，可得：a_n+b_n=8．依次數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=8n．
于是2^n-3T_n=n•2ⁿ．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（3）由（1）（2）可得：b_n-a_n=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，a_n+b_n=8．解得b_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．可得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}（-\frac{1}{2}）^{n}$．由p（S_n-4n）∈[1，3]，可得1≤$\frac{2}{3}p[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$，b_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=-$\frac{1}{2}（_{n}-{a}_{n}）$，
∴數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為-$\frac{1}{2}$，
∴b_n-a_n=2×$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（2）∵a_n+1=$\frac{_{n}+4}{2}$，b_n+1=$\frac{{a}_{n}+4}{2}$（n∈N^*），
∴a_n+1+b_n+1=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+_{n}）$+4，
化為a_n+1+b_n+1-8=$\frac{1}{2}（{a}_{n}+_{n}-8）$，
∵a₁+b₁-8=0，可得a₂+b₂-8=0，…，
依此類推可得：a_n+b_n=8．
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和T_n=8n．
∴2^n-3T_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{2^n-3T_n}的前n項(xiàng)和A_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-A_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．
（3）由（1）（2）可得：b_n-a_n=$2×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，a_n+b_n=8．
∴b_n=4+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=4n+$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=4n+$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}（-\frac{1}{2}）^{n}$．
由p（S_n-4n）∈[1，3]，
∴1≤$\frac{2}{3}p[1-（-\frac{1}{2}）^{n}]$≤3，
∴$\frac{\frac{3}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$≤p≤$\frac{\frac{9}{2}}{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}$．
∵對(duì)任意n∈N^*，都有p（S_n-4n）∈[1，3]成立，
解得：P=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系的應(yīng)用、恒成立問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．