Question

已知橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，連接MA，MB并延長(zhǎng)交直線x=4于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)y_P，y_Q分別為點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)，且．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求
橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用 ，及韋達(dá)定理，可得y=kx-k，故直線l過(guò)定點(diǎn)．
解答：（Ⅰ）解：∵橢圓C：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，0）．
∴a=2，，∴．                        …（2分）
∵a²=b²+c²，∴．                            …（3分）
橢圓方程為．                                      …（5分）
（Ⅱ）證明：消y得  （2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，△＞0．             …（6分）
因?yàn)锳（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以，．          …（7分）
設(shè)直線MA：，則；同理…（9分）
因?yàn)?nbsp;，所以 ，即．     …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，2kx₁x₂+m（x₁+x₂）-4k（x₁+x₂）-8m=0，所以，
所以 ，得 m=-k．                           …（13分）
則y=kx-k，故l過(guò)定點(diǎn)（1，0）．                              …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線過(guò)定點(diǎn)，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．