【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,,
,
,E為AD中點,點O,F分別為BE,DE的中點,將
沿BE折起到
的位置,使得平面
平面BCDE(如圖).
(1)求證:;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值;
(3)側(cè)棱上是否存在點P,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)要證,只需證明
平面BCDE即可;
(2)以O為原點,OB,OC,所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,確定出點
坐標(biāo),求出平面
的法向量坐標(biāo),即可求解;
(3)假設(shè)滿足條件的點P存在,設(shè),
,由四邊形BCDE為菱形,且
,結(jié)合(1)可知,
平面
,得到
為平面
的一個法向量,據(jù)此可求解
的值.
(1)如圖1,在等腰梯形ABCD中,由,
,
,
為
中點,所以
為等邊三角形.
如圖2,因為O為BE的中點,所以,
又因為平面平面BCDE,且平面
平面
,
所以平面BCDE,所以
.
(2)連結(jié)OC,由已知得,又O為BE的中點,
所以,由(1)知
平面BCDE,
所以,
,
,
,
兩兩垂直,
以O為坐標(biāo)原點,OB,OC,所在的直線分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
,
,
設(shè)平面的法向量為
,
,即
,令
,則
,
平面
的一個法向量為
,
設(shè)與平面
所成角為
,
,
所以直線與平面
所成角的正弦值為
;
(3)假設(shè)側(cè)棱上存在點P,使得
平面
,
設(shè),
,
由四邊形BCDE為菱形,,
分別為
中點,
,
由(1)得平面
,
是平面
的一個法向量,
平面
,
,
所以滿足條件的點存在,且
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(
且
)是R上的奇函數(shù),且
.
(1)求的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間
內(nèi)只有一個解,求m的取值集合;
(3)設(shè),記
,是否存在正整數(shù)n,使不得式
對一切
均成立?若存在,求出所有n的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若在定義域內(nèi)存在
,使得
成立,則稱
為函數(shù)
的局部對稱點.
(1)若且
,證明:函數(shù)
必有局部對稱點;
(2)若函數(shù)在定義域
內(nèi)有局部對稱點,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若函數(shù)在
上有局部對稱點,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題,擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度,責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15~65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人,調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示, 支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如表:
年齡(歲) | |||||
支持“延遲退休年齡政策”人數(shù) | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
(I)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表;
年齡低于45歲的人數(shù) | 年齡不低于45歲的人數(shù) | 總計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計 |
(II)通過計算判斷是否有的把握認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度有差異.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A. ,使得
成立.
B. 命題:任意
,都有
,則
:存在
,使得
.
C. 命題“若且
,則
且
”的逆命題為真命題.
D. 若數(shù)列是等比數(shù)列,
則
是
的必要不充分條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】遞增的等差數(shù)列的前
項和為
.若
與
是方程
的兩個實數(shù)根.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)當(dāng)為多少時,
取最小值,并求其最小值;
(3)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某手機(jī)賣場對市民進(jìn)行國產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查,隨機(jī)抽取名市民,按年齡(單位:歲)進(jìn)行統(tǒng)計和頻數(shù)分布表和頻率分布直線圖如下:
分組(歲) | 頻數(shù) |
合計 |
(1)求頻率分布表中、
的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)在抽取的這名市民中,按年齡進(jìn)行分層抽樣,抽取
人參加國產(chǎn)手機(jī)用戶體驗問卷調(diào)查,現(xiàn)從這
人中隨機(jī)選取
人各贈送精美禮品一份,設(shè)這
名市民中年齡在
內(nèi)的人數(shù)
,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個口袋中有個白球和
個紅球(
,且
),每次從袋中摸出兩個球(每次摸球后把這兩個球放回袋中),若摸出的兩個球顏色相同為中獎,否則為不中獎.
(1)試用含的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率
;
(2)若,求三次摸球恰有一次中獎的概率;
(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為,當(dāng)
為何值時,
取最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,在四棱錐中,底面
為平行四邊形,
為等邊三角形,平面
平面
,
,
,
,
(Ⅰ)設(shè)分別為
的中點,求證:
平面
;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求直線與平面
所成角的正弦值.
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