Question

已知函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx（a∈R且a≠0），g（-1）=0，則g（x）的導函數(shù)f（x）滿足f（0）f（1）≤0．設(shè)x₁，x₂為方程f（x）=0的兩根．
（1）求的取值范圍；
（2）若當|x₁-x₂|最小時，g（x）的極大值比極小值大，求g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得b-a-c=0，函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0，化簡可得3--2≤0，由此求得 的取值范圍．
（2）化簡|x₁-x₂|的解析式為，故a=b時，取最小值，即|x₁-x₂|取最小值，此時，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．分a＞0和a＜0兩種情況分別求出極大值和極小值，根據(jù)g（x）的極大值比極小值大，求g（x）的解析式．x₁+x₂
解答：解：（1）由題意可得b-a-c=0，函數(shù)f（x）=3ax²+2bx+c，且f（0）f（1）=c•（3a+2b+c）≤0．
化簡可得 3b²-ab-2a²≤0．
∵a≠0，∴3--2≤0． 解得-≤≤1，故 的取值范圍是． …（4分）
（2）∵=-4x₁•x₂=-4（）= +，
∵，故當 ，即a=b時，取最小值，即|x₁-x₂|取最小值．…（7分）
此時，g（x）=ax³+ax²f（x）=3ax²+2ax．
當a＞0時  f（x）在 上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)，在（0，+∞） 上是增函數(shù)．
g（x）的極大值為，極小值為g（0）=0．
由題意，a=9，此時g（x）=9x³+9x²．…（10分）
當a＜0時，f（x）在 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，在（0，+∞） 上是減函數(shù)．
g（x）的極大值為g（0）=0，極小值為．
由題意 ，a=-9，此時g（x）=-9x³-9x²．…（13分）
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，方程的根與系數(shù)的關(guān)系，倒數(shù)的運算，屬于中檔題．