Question

已知雙曲線C：

x2

2

-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．記λ=

MP

•

MQ

．求λ的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)D，E，M的坐標(biāo)分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．記l為經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）在雙曲線C：

x2

2

-y2=1，把1換成0，就得到它的漸近線方程．
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則Q的坐標(biāo)為（-x₀，-y₀），先求出

MP

和

MQ

，然后運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算能夠求出λ的取值范圍．
（3）根據(jù)P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可知直線l的斜率k∈(0，

2

2

).再由題設(shè)條件根據(jù)k的不同取值范圍試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

解答：解：（1）在雙曲線C：

x2

2

-y2=1，把1換成0，
所求漸近線方程為y-

2

2

x=0， y+

2

2

x=0
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則Q的坐標(biāo)為（-x₀，-y₀），
λ=

MP

•

MQ

=(x0，y0-1)•(-x0，-yo-1)=-

x

2 0

-

y

2 0

+1=-

3

2

x

2 0

+2.
∵|x0|≥

2

∴λ的取值范圍是（-∞，-1]．
（3）若P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，
則直線l的斜率k∈(0，

2

2

).
由計(jì)算可得，當(dāng)k∈(0，

1

2

]時(shí)，s(k)=

2

1-k2

1+k2

；
當(dāng)k∈(

1

2

，

2

2

)時(shí)，s(k)=

2k+1

k+k2

1+k2

.
∴s表示為直線l的斜率k的函數(shù)是s(k)=

2 1-k2 1+k2   k∈(0 1 2 ] 2k+1 k+k2 1+k2  k∈( 1 2 2 2 ).

點(diǎn)評：本題是直線與圓錐曲線的綜合問題，解題要熟練掌握雙曲線的性質(zhì)和解題技巧．