Question

給定有限單調遞增數(shù)列{x_n}（至少有兩項），其中x_i≠0（1≤i≤n），定義集合A={（x_i，x_j）|1≤i，j≤n，且i，j∈N^*}．若對任意的點A₁∈A，存在點A₂∈A使得

OA1

⊥

OA2

（O為坐標原點），則稱數(shù)列{x_n}具有性質P．例如數(shù)列{x_n}：-2，2具有性質P．以下對于數(shù)列{x_n}的判斷：
①數(shù)列{x_n}：-2，-1，1，3具有性質P；
②若數(shù)列{x_n}滿足x_n=

-1，n=1 2n-1，2≤n≤2014

，則該數(shù)列具有性質P；
③若數(shù)列{x_n}具有性質P，則數(shù)列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j，使得x_i+x_j=0；
其中正確的是（　�。�

• A、①②③
• B、②③
• C、①②
• D、③

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對于①，取A₁（-2，3），若存在A₂（x，y）滿足

OA1

⊥

OA2

，可得

y

x

=

2

3

，數(shù)列{x_n}中不存在這樣的項x，y；
對于②，取A₁（-1，-1）時，不存在A₂（x，y），使得

OA1

⊥

OA2

；
對于③，取A₁（x_k，x_k），利用條件可得x_i+x_j=0．

解答： 解：對于①，取A₁（-2，3）時，若存在A₂（x，y）滿足

OA1

⊥

OA2

，得-2x+3y=0，即

y

x

=

2

3

，數(shù)列{x_n}中不存在這樣的項x，y，因此不具有性質P．
對于②，取A₁（-1，-1）時，不存在A₂（x，y），使得

OA1

⊥

OA2

，得-x-y=0，數(shù)列{x_n}中不存在這樣的項x，y，故②不具有性質P．
對于③，取A₁（x_k，x_k），若數(shù)列{x_n}具有性質P，則存在點A₂（x_i，x_j）使得

OA1

⊥

OA2

，即x_kx_i+x_kx_j=0，又x_k≠0，所以x_i+x_j=0，故③正確．
故選D．

點評：本題考查新定義，考查數(shù)列的應用，正確理解新定義是關鍵．