Question

如圖，已知拋物線C₁：x²=2py的焦點在拋物線C₂：上．
（Ⅰ）求拋物線C₁的方程及其準線方程；
（Ⅱ）過拋物C₁上的動點P作拋物線C₂的兩條切線PM、PN，切點M、N．若PM、PN的斜率積為m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）C₁的焦點為F（0，），
所以=0+1，p=2．
故C₁的方程為x²=4y，其準線方程為y=-1．
（Ⅱ）任取點P（2t，t²），設過點P的C₂的切線方程為y-t²=k（x-2t）．
由，得x²-2kx+4tk-2t²+2=0．
由△=（2k）²-4（4tk-2t²+2）=0，化簡得k²-4tk+2t²-2=0，
記PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，則m=k₁k₂=2t²-2，
因為m∈[2，4]，所以t²∈[2，3]，
所以|OP|²=4t²+t⁴=（t²+2）²-4∈[12，21]，
所以|OP|∈[，]．
分析：（Ⅰ）寫出C₁的焦點為F（0，），代入拋物線C₂方程即可求得p值，從而可得拋物線C₁的方程及其準線方程；
（Ⅱ）任取點P（2t，t²），設過點P的C₂的切線方程為y-t²=k（x-2t）．聯(lián)立切線方程與拋物線C₂的方程，消掉y得x的二次方程，由相切得△=0，整理為關于k的二次方程，設PM，PN的斜率分別為k₁，k₂，由韋達定理可用t表示出m，根據(jù)m范圍可得t²范圍，由兩點距離公式可得|OP|的范圍；
點評：本題考查拋物線方程、直線方程及直線與拋物線的位置關系，本題中P點坐標設法運用了拋物線的參數(shù)方程，簡化了運算，給解決問題提供了方便．