已知f(x)=ax+lnx,x∈(0,e],數(shù)學(xué)公式,其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)若a=-1,求f(x)的極值;
(2)求證:在(1)的條件下,數(shù)學(xué)公式;
(3)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最大值是-3,如果存在,求出a的值;如果不存在,說明理由.

解:(1)∵f(x)=-x+lnx,
f?(x)=-1+=,
∴當(dāng)1<x<e時,f?(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)0<x<1時,f?(x)>0,此時f(x) 單調(diào)遞增,
∴f(x)的極大值為f(1)=-1.
(2)∵f(x)的極大值即f(x)在(0,e]上的最大值為-1
令h(x)=,
,
∴當(dāng)0<x<e時,h?(x)<0,且h(x)在x=e處連續(xù)
∴h(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,
∴h(x)min=h(e)=>-1=f(x)max
∴當(dāng)x∈(0,e]時,
(3)假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)=ax+lnx有最大值-3,x∈(0,e],
f?(x)=,
①當(dāng)a≥時,由于x∈(0,e],則f?(x)=≥0且f(x) 在x=e處連續(xù)
∴函數(shù)f(x)=ax+lnx是(0,e]上的增函數(shù),
∴f(x)max=f(e)=ae+1=-3,解得(舍去).
②當(dāng)a<時,
則當(dāng)-<x<e時,f?(x)=<0,此時f(x)=ax+lnx 是減函數(shù),
當(dāng)時,f?(x)=>0此時f(x)=f(x)=ax+lnx 是增函數(shù),
∴f(x)max=f(-)=-1+ln()=-3,解得a=-e2
由①、②知,存在實數(shù)a=-e2,使得當(dāng)x∈(0,e],時f(x)有最大值-3.
分析:(1)求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)的符號,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值.
(2)構(gòu)造函數(shù)h(x),通過導(dǎo)數(shù),求出導(dǎo)函數(shù)的符號,求出h(x)的單調(diào)性,求出h(x)的最小值,得到要證的不等式.
(3)求出導(dǎo)函數(shù),通過對a與區(qū)間的討論,求出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最大值,令最大值為-3,列出方程求出a的值.
點評:解決函數(shù)的極值問題常用的是導(dǎo)函數(shù)在極值點處的值為0;證明不等式時常轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的最值.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=ax+a-x(a>0且a≠1),
(1)證明函數(shù)f ( x )的圖象關(guān)于y軸對稱;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義加以證明;
(3)當(dāng)x∈[1,2]時函數(shù)f (x )的最大值為
103
,求此時a的值.

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已知f(x)=ax+b(a>0且a≠1,b為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(1,1)且0<f(0)<1,記m=
1
2
[f-1(x1)+f-1(x2)]
,n=f-1(
x1+x2
2
)
(x1、x2是兩個不相等的正實數(shù)),試比較m、n的大。

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(1)已知f(x)=ax+a-x,若f(1)=3,,求f(2)的值.
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=log3(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log312.求a,b的值.

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已知f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),當(dāng)f(x1)=g(x2)=2時,有x1>x2,則a,b的大小關(guān)系是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•新疆模擬)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
lnx
x
,其中e是自然對數(shù)的底,a∈R.
(Ⅰ)a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間、極值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值,若不存在,說明理由;
(Ⅲ)在(1)的條件下,求證:f(x)>g(x)+
1
2

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