Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F與點(diǎn)E（-

2

，0）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，M是動(dòng)點(diǎn)，且直線EM與FM的斜率之積等于-

1

2

．設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，

2

)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)A(

2

，0)，曲線C與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意得點(diǎn)F（

2

，0），

y-0

x+ 2

•

y-0

x- 2

= -1，化簡(jiǎn)可得曲線C的方程．
（Ⅱ） 直線l經(jīng)過(guò)圓和y軸的交點(diǎn)（0，

2

），直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線l與曲線C不能相切，k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得 

OP

+

OQ

 的坐標(biāo)，再利用

OP

+

OQ

與

AB

共線，求出 k值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意得點(diǎn)F（

2

，0），

y-0

x+ 2

•

y-0

x- 2

= -1，化簡(jiǎn)可得 x²+y²=2，
故曲線C的方程為  x²+y²=2，表示以原點(diǎn)為圓心，以

2

為半徑的圓．
（Ⅱ）∵點(diǎn)(0，

2

)是圓和y軸的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，

2

)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，
∴線l與曲線C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程 y-

2

=k（x-0）代入曲線C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2

2

kx=0．
設(shè)P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），則  x₁+x₂=-

2 2 k

1 +k2

，x₁•x₂=0．
∴

OP

+

OQ

=（x₁+x₂，kx₁+

2

+kx₂+

2

 ）=（-

2 2 k

1 +k2

，-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）．
由B（0，

2

），A(

2

，0)，∴

AB

=（-

2

，

2

 ）．∵向量

OP

+

OQ

與

AB

共線，
∴-

2 2 k

1 +k2

•

2

-（-

2

）（-

2 2 k2

1 +k2

+2

2

 ）=0，

4-4k

1+k2

=0，∴k=1．
即存在常數(shù) k=1 滿足題中的條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直接利用條件求點(diǎn)的軌跡方程的方法，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的難點(diǎn)．