Question

已知ω＞0，向量

m

=（1，2cosωx），

n

=（

3

sin2ωx，-cosωx）．設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，且f（x）圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離是

π

2

．
（Ⅰ）求數(shù)ω的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

4

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出函數(shù)f（x）的解析式，然后化簡(jiǎn)為y=Asin（ωx+ρ）+b的形式，再由兩條對(duì)稱軸的距離是

π

2

可求出最小正周期，進(jìn)而可求出ω的值．
（Ⅱ）將ω的值代入到函數(shù)f（x）中確定解析式，根據(jù)x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，再由正弦函數(shù)的最值可確定答案．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

m

•

n

=

3

sin2ωx-2cos²ωx
=

3

sin2ωx-cos2ωx-1=2sin(2ωx-

π

6

)-1．
∵f（x）的圖象上相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離是

π

2

，
∴f（x）的周期為π，∴ω=1．

（Ⅱ）∵ω=1∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
則當(dāng)2x-

π

6

=

5π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值0；
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，f（x）取得最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)的最值．三角函數(shù)和向量的綜合題是高考的重點(diǎn)，每年必考，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．