Question

已知a∈R，且以下命題都為真命題：
命題p：實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)；
命題q：存在復(fù)數(shù)z同時(shí)滿(mǎn)足|z|=2且|z+a|=1．
求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：x²+ax+2=0的兩根都是虛數(shù)，說(shuō)明該方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)實(shí)根，復(fù)數(shù)模通�？紤]其幾何意義解題．

解答：解：由命題p為真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
又x²+y²=4表示以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓；
而（x+a）²+y²=1是以（-a，0）為圓心，以1為半徑的圓．
由命題q為真，可知復(fù)平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有公共交點(diǎn)，
所以，實(shí)數(shù)a∈[-3，-1]∪[1，3]，
故兩個(gè)命題同時(shí)為真的實(shí)數(shù)的取值范圍是a∈(-2

2

，-1]∪[1，2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根都是虛數(shù)時(shí)，則方程無(wú)實(shí)根，即判別式△＜0．注意端點(diǎn)值的取舍．