Question

已知函數(shù)f（x）=kln|x|+1（k≠0），定義函數(shù)F（x）=

f(x)  x＞0 -f(x)   x＜0

，給出下列命題：
①函數(shù)F（x）是奇函數(shù)；
②F（x）=|f（x）|；
③當k＜0，若mn＜0，m+n＜0，總有F（m）+F（n）＞0成立，
其中所有正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)奇偶性的定義可證得當x＞0或x＜0時，F(xiàn)（-x）=-F（x）；故函數(shù)F（x）是奇函數(shù)①正確；當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可得③正確．由題意得F（x）=

klnx+1，x＞0 -kln(-x)-1，x＜0

再寫出|f（x）|的表達式，它和F（x）并不是同一個函數(shù)，故②錯誤

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=kln|x|+1是偶函數(shù)，
當x＞0時，-x＜0，則F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）；
當x＜0時，-x＞0，則F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）；
故函數(shù)F（x）是奇函數(shù)，①正確；
由題意得F（x）=

klnx+1，x＞0 -kln(-x)-1，x＜0

而|f（x）|=

kln|x|+1，f(x)＞0 -kln|x|-1，f(x)＜0

它和F（x）并不是同一個函數(shù)，故②錯誤；
當k＜0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
若mn＜0，m+n＞0，總有m＞-n＞0，
∴F（m）＜F（-n），即f（m）＜-F（n），
∴F（m）+F（n）＜0成立，故③正確．
故其中所有正確命題是①③
故選：C．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、命題的真假判斷與應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．