Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（a+）x²+x（a∈R，a≠0）．
（1）若a＞0，則a為何值時(shí)，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線斜率最大？并求該切線方程；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-，k+）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）若f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得
∵a＞0，∴
∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，等號(hào)成立
即當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線斜率最大，該切線方程為y=；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-x²+x

令f′（x）＞0，可得或x＞2，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-，k+）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則
或
∴或
（3）f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．
令f′（x）=0得x₁=a，x₂=．
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，∵x∈[0，+∞），
∴f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}，
∵f（0）=0，∴
得≤a≤，
綜上所得，a的取值范圍是a＜0或≤a≤．（13分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得，利用基本不等式，可知a=1時(shí)，f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線斜率最大，從而可求切線方程；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-x²+x，求導(dǎo)函數(shù)，從而可知或x＞2時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（k-，k+）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則或，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，即f（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．分類(lèi)討論：①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，符合題意；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）_min=min{f（0），f（a），f（）}≥0即可，從而可求a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，同時(shí)考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．