Question

15．若A（4，y₁）、B、C（8，y₂）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的三點，它們關(guān)于右焦點的三條焦半徑的長成等差數(shù)列，則B點的坐標(biāo)是（6，±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的第二定義，橢圓上的點到焦點的距離與其到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，將問題轉(zhuǎn)化為A、B、C三點到右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列，表示出這三個距離，由等差關(guān)系轉(zhuǎn)化成等式即可化簡得到結(jié)論．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{144}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=12，b=3，c=3$\sqrt{15}$，右準(zhǔn)線方程為x=$\frac{48}{\sqrt{15}}$，
設(shè)B的坐標(biāo)為（m，n），
根據(jù)橢圓的定義，橢圓上的點到焦點的距離與其到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于e，
由A、B、C和到右焦點的距離依次成等差數(shù)列，
可得A、B、C三點到右準(zhǔn)線的距離成等差數(shù)列；
即$\frac{48}{\sqrt{15}}$-4+$\frac{48}{\sqrt{15}}$-8=2（$\frac{48}{\sqrt{15}}$-m），
解得m=6，由$\frac{{m}^{2}}{144}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，解得n=±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：（6，±$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題考查橢圓的應(yīng)用，考查了橢圓的第二定義，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．