Question

由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度y與時間x的關(guān)系，可近似地表示為y=．只有當(dāng)河流中堿的濃度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．
（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？
（2）當(dāng)河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認(rèn)為是各次投放的堿在該時刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意，當(dāng)0≤x≤2時，，∴x²-5x+2≤0，∴，
∵0≤x≤2，∴
當(dāng)2＜x≤4時，4-x≥1，∴x≤3，∵2＜x≤4，∴2＜x≤3
綜上，得，
即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，，y′=＞0，∴函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，
當(dāng)2＜x≤4時，y=4-x單調(diào)遞減，所以當(dāng)河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，
即2＜x≤4時，y=4-x+[-]=14-（2x+），
故當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2時，y有最大值14-8．
分析：（1）利用分段函數(shù)解析式，分別列出不等式，解之，即可求得x的范圍，從而可得能夠維持有效抑制作用的時間；
（2）確定函數(shù)在[0，2]上單調(diào)遞增，當(dāng)2＜x≤4時，y=4-x單調(diào)遞減，進(jìn)而可得函數(shù)，利用基本不等式，即可求得最值
點評：本題考查分段函數(shù)，考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．