Question

已知集合A={x|x²-2x-15≥0}，B={x||x-2k|＜1}，
（Ⅰ）當(dāng)A∩B=∅時，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)B⊆A時，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)k使A∪B=R，若存在，求k的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

解：∵x²-2x-15≥0?（x-5）（x+3）≥0?x≤-3或x≥5
∴集合A={x|x²-2x-15≥0}=（-∞，-3]∪[5，+∞）
而|x-2k|＜1等價于-1＜x-2k＜1，可得2k-1＜x＜2k+1
∴集合B={x||x-2k|＜1}=（2k-1，2k+1）
（I）A∩B=∅，可得?-1≤k≤2；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-1，2]
（II）B⊆A，可得（2k-1，2k+1）⊆（-∞，-3]或（2k-1，2k+1）⊆[5，+∞）
①當(dāng)（2k-1，2k+1）⊆（-∞，-3]時，2k+1≤-3，可得k≤-2
②當(dāng)（2k-1，2k+1）⊆[5，+∞）時，2k-1≥5，可得k≥3
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-∞，-2]∪[3，+∞）；
（III）當(dāng)且僅當(dāng)時，A∪B=R成立
此時k≤-1且k≥2矛盾，所以不存在實(shí)數(shù)k使A∪B=R成立．
分析：先根據(jù)一元二次不等式解法與絕對值不等式解法的結(jié)論，將集合A、B進(jìn)行化簡，得到A=（-∞，-3]∪[5，+∞），B=（2k-1，2k+1）
（I）若A∩B=∅，說明不存在元素x使x∈A且x∈B同時成立，因此有-3≤2k-1＜2k+1≤5，從而找到實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（II）若B⊆A成立，說明（2k-1，2k+1）是區(qū)間（-∞，-3]的子集，或（2k-1，2k+1）是區(qū)間[5，+∞）的子集，因此分兩種情況加以討論，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（III）先假設(shè)存在實(shí)數(shù)k使A∪B=R，通過建立不等式組，得到k值既要小于或等于-1又要大于或等于2，出現(xiàn)矛盾，從而說明不存在滿足條件的實(shí)數(shù)k．
點(diǎn)評：本題以一元二次不等式解法和含有絕對值不等式解法為載體，考查了集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，屬于基礎(chǔ)題．