Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，AC=AB₁，F(xiàn)為AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）求證：EF∥面ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AE，證明B₁C⊥平面ABC₁，即可證明面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OE，證明四邊形OEAF是平行四邊形，即可證明EF∥面ABC．

解答： 證明：（1）連接AE，則
∵BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，
∴E為B₁C的中點(diǎn)
∵AC=AB₁，
∴B₁C⊥AE，
∵側(cè)面BB₁C₁C為菱形，
∴B₁C⊥BC₁，
∵AE∩BC₁=E，
∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵B₁C?面FCB₁，B₁C⊥平面ABC₁，
∴面FCB₁⊥面ABC₁；
（2）取BC的中點(diǎn)O，連接OA，OE，則OE平行且等于

1

2

CC₁，
∵F為AA₁的中點(diǎn)，
∴AF平行且等于

1

2

CC₁，
∴AF平行且等于OE
∴四邊形OEAF是平行四邊形，
∴EF∥OA，
∵EF∥OA，EF?面ABC，OA?面ABC，
∴EF∥面ABC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．