Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）當(dāng)求函數(shù)在上的最大值和最小值；

（3）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒有求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)；（2）最大值是22，最小值為0；（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)定義進(jìn)行證明，首項(xiàng)確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再證，（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上單調(diào)性，根據(jù)偶函數(shù)得函數(shù)在[，]上單調(diào)性，最后根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)最值取法，（3）先求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)與分類(lèi)討論，利用以及進(jìn)行證明或舉反例.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，

因?yàn)?/span>，

所以函數(shù)是偶函數(shù)．

（2）當(dāng)時(shí)，，則，

令，則，所以是增函數(shù)，

又，所以，所以在[0，]上是增函數(shù)，

又函數(shù)是偶函數(shù)，

故函數(shù)在[，]上的最大值是22，小值為0．

（3），

令，則，

①當(dāng)時(shí)，，所以是增函數(shù)，

又，所以，所以在[0，+∞)上是增函數(shù)，

而，是偶函數(shù)，

故恒成立．

②當(dāng)時(shí)，，所以是減函數(shù)，

又，所以，所以在(0，+∞)上是減函數(shù)，

而，是偶函數(shù)，所以，與矛盾，故舍去．

③當(dāng)時(shí)，必存在唯一(0，)，使得，

因?yàn)?/span>在[0，]上是增函數(shù)，

所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，，即在(0，x0)上是減函數(shù)，

又，所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，，，即在(0，x0)上是減函數(shù)，

而，所以當(dāng)x(0，x0)時(shí)，，與矛盾，故舍去．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．