已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=
1
2
an+
n
2n+1
(n∈N*)

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明:
1
2n-1
an≤1
;
(Ⅲ)設(shè)Tn=
2n
n2-n+4
an
,且Kn=ln(1+Tn)+
1
2
Tn2
,證明:
2
Tn+2
Tn
Kn
分析:(Ⅰ)2n+1an+1-2nan=n,令bn=2n+1an+1-2nan,得2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=2+
n(n-1)
2
(n≥2,n∈N*)
,由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(Ⅱ)由
n(n-1)
2n+1
≥0
,可得an
1
2n-1
,2n+1=(1+1)n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1,所以2n+1>n2+2n+2,由此能證明
1
2n-1
an≤1

(Ⅲ)Tn=
2n
n2-n+4
•(n2-n+4)•(
1
2
)n+1=
n
2n
,欲證:
2
Tn+2
Tn
Kn
.,即證Kn
1
2
Tn2+Tn
,即ln(1+Tn)-Tn<0.構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,借助導(dǎo)數(shù)能夠證明
2
Tn+2
Tn
Kn
解答:解:(Ⅰ)∵2n+1an+1-2nan=n
令bn=2n+1an+1-2nan,∴2nan=2a1+b1+b2+…+bn-1=2+
n(n-1)
2
(n≥2,n∈N*)
,
an=
1
2n-1
+
n(n-1)
2n+1
,又a1=1成立∴an=
1
2n-1
+
n(n-1)
2n+1
(4分)
(Ⅱ)∵
n(n-1)
2n+1
≥0
,∴an
1
2n-1

又當(dāng)n≥2時(shí),2n+1=(1+1)n+1=1+Cn+11+Cn+12+…+Cn+1n-1+Cn+1n+1
∴2n+1>1+Cn+11+2Cn+12,∴2n+1>n2+2n+2,而an=(n2-n+4)
1
2n+1

an
n2-n+4
n2+2n+2
=1-
3n-2
n2+2n+2
<1
,又a1=1
1
2n-1
an≤1
(9分)
(Ⅲ)Tn=
2n
n2-n+4
•(n2-n+4)•(
1
2
)n+1=
n
2n

欲證:
2
Tn+2
Tn
Kn
.,即證Kn
1
2
Tn2+Tn
,即ln(1+Tn)-Tn<0.
構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x(x≥0),f′(x)=-
x
1+x
<0
,
∴f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),f(x)的最大值為f(0)=0,
∴當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,∴l(xiāng)n(1+Tn)-Tn<0
故不等式
2
Tn+2
Tn
Kn
.成立.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
, n∈N*

(1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)
,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn
(3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1
則{an}的通項(xiàng)公式
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=
3
2
,且an=
3nan-1
2an-1+n-1
(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
(1)若a1=
54
,求an;
(2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案