Question

拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線上，且∠AFB=

2π

3

，弦AB中點(diǎn)M在準(zhǔn)線l上的射影為M′，則

|MM′|

|AB|

的最大值為（　　）

• A．

  4 3

  3

• B．

  3

• C．

  2 3

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：設(shè)AF=a，BF=b，由拋物線定義得2|MM′|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

，結(jié)合不等式a+b≥2

ab

求得|AB|的范圍，把|MM′|和|AB|作比可得答案．

解答：解：如圖，
設(shè)AF=a（a＞0），BF=b（b＞0），由拋物線定義，得2|MM′|=a+b．
在△ABF中，由余弦定理，得|AB|²=a²+b²-2abcos

2π

3

=a²+b²+ab=（a+b）²-ab，
∵a＞0，b＞0，由基本不等式得：a+b≥2

ab

，∴ab≤

(a+b)2

4

，
∴(a+b)2-ab≥

3

4

(a+b)2．
即|AB|2≥

3

4

(a+b)2，∴|AB|≥

3

2

(a+b)．
∴

|MM′|

|AB|

≤

a+b 2

3 2 (a+b)

=

3

3

．
∴

|MM′|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)拋物線定義的應(yīng)用和余弦定理的應(yīng)用．訓(xùn)練了基本不等式的用法，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，是中檔題．