Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（1）證明：{an+1-

3

2

an}為等比數(shù)列；
（2）證明：求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，相減得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，由此能夠證明{an+1-

3

2

an}為等比數(shù)列；

（2）由an+1=

3

2

an+3n+1得

an+1

3n+1

=

1

2

•

an

3n

+1，

an+1

3n+1

-2=

1

2

•(

an

3n

-2)，

a1

3

-2=

3

2

-2=-

1

2

，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n-3ⁿ⁺¹，
相減得S_n+1-S_n=3a_n+1-3a_n-3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹，（3分）
即an+1=

3

2

an+3n+1，故an+1-

3

2

an=3n+1．
故數(shù)列{an+1-

2

3

an}為首項是9、公比為3的等比數(shù)列．（6分）
（2）an+1=

3

2

an+3n+1得

an+1

3n+1

=

1

2

•

an

3n

+1，

an+1

3n+1

-2=

1

2

•(

an

3n

-2)，

a1

3

-2=

3

2

-2=-

1

2

，
故

an

3n

-2=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
所以an=(2-(

1

2

)n)•3n=2•3n-(

3

2

)n．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時要注意總結(jié)規(guī)律，靈活運(yùn)用公式．