Question

【題目】已知函數(shù)為實(shí)常數(shù).

（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，直線、與函數(shù)的圖象一共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，且以此四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形.求證： .

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間. （2）見解析

【解析】試題分析：（1）（1）求出F（x）的定義域，求得導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，即可得到所求單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意可得該四邊形為平行四邊形等價(jià)于f（m）-g（m）=f（n）-g（n）且m＞0，n＞0．當(dāng)a=-e時(shí)，F(x)＝f(x)g(x)＝（x>0）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)性，確定0＜m＜1＜n，或0＜n＜1＜m，即可得證．

試題解析：

（1），其定義域?yàn)?/span>，

而，

當(dāng)時(shí)， ，

故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.

（2）證明：因?yàn)橹本�與平行，

故該四邊形為平行四邊形等價(jià)于且.

當(dāng)時(shí)， ，

則，令，

則，故在上單調(diào)遞增；

而，故時(shí)， 單調(diào)遞減；

時(shí)， 單調(diào)遞增；而，

故或，所以.