Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁+k₂=8，證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
點(diǎn)M（0，2）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△F₁MF₂是等腰直角三角形，
∴b=2，，
所求橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，
依題意m≠±2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0．…（7分）
則，．
∵，
∴，
即2k+（m-2）•=8．…（10分）
所以k=-，整理得 m=．
故直線AB的方程為y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直線AB過(guò)定點(diǎn)（-，-2）． …（12分）
若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，
設(shè)A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知，
得．此時(shí)AB方程為x=-，顯然過(guò)點(diǎn)（-，-2）．
綜上，直線AB過(guò)定點(diǎn)（-，-2）．…（13分）
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件知b=2，，由此能夠求出橢圓方程．
（Ⅱ）若直線AB的斜率存在，設(shè)AB方程為y=kx+m，依題意m≠±2．由 ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本�AB過(guò)定點(diǎn)（-，-2）．若直線AB的斜率不存在，設(shè)AB方程為x=x₀，由題設(shè)條件能夠?qū)С鲋本�AB過(guò)定點(diǎn)（-，-2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過(guò)定點(diǎn)的證明，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．